Вывод формулы сферического зеркала

Рассмотрим узкий приосевой пучок световых лучей (u - малый угол), падающий на вогнутое сферическое зеркало. В этом случае можно положить:  h/r « 1 и h/a « 1 , тогда имеем:

по закону отражения:             i = i'      (1)

из треугольника ΔSMC:           i + u = α    (2)

из треугольника ΔCMS':         u' + α = i'   (3)

Из (1), (2) и (3), находим:    u + u' = 2α   (4)

Для малых углов можем написать соотношения:

u ≈ sin u = h/a

u' ≈ sin u' = h/a'                           (5)

α ≈ sin α = h/r

Подставляя (5) в (4) и сокращая на h, получаем формулу сферического зеркала:

              (6)

То, что h и u не входят в (6) означает, что любой луч, выходящий из S (и принадлежащий к достаточно узкому пучку), после отражения пройдет через точку S' на расстоянии a' от полюса. Таким образом, точка S' есть изображение точки S. Точки S и S' сопряжены между собой, т. е. поместив источник в точку S', мы получим изображение в точке S (правило обратимости световых лучей).

Для выпуклого сферического формула (6) остается в силе, однако a' < 0 и 2/r < 0, тогда

           (6')

Фокус и фокусное расстояние

Фокусом F называется точка на главной оптической оси зеркала, в которой сходится параллельный пучок лучей, отраженных от зеркала. Расстояние от фокуса до полюса зеркала называется фокусным расстоянием f.

Для вычисления фокусного расстояния f, в (6) полагаем a = ∞  и находим a' = r/2 = f

            (7)

Подставляя (7) в (6), получим формулу сферического зеркала в виде:

        (8)

В случае выпуклого зеркала фокус f < 0, т. е. является мнимым.

Увеличение

Отношение линейных размеров изображения y' к линейным размерам предмета y называется линейным или поперечным увеличением β.

Из подобия треугольников Δ S₁PS и Δ S'₁PS' , находим поперечное увеличение сферического зеркала:

       (9)

Видеоролико Фокусе вогнутого зеркала - 2 mb

Видеоролико Фокусе выпуклого зеркала - 1.9 mb

Видеоролик о построении изображений в вогнутом зеркале - 1.9 mb

Скачать статью в формате PDF - 92 kb